=====Solução=====

Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de elementos de $X$, de maneira que, por hipótese, $\{x_n | n \in \mathbb{N}\}$ admite ponto de acumulação. Tomemos $x'$ tal ponto.Agora, definiremos a subsequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ do seguinte modo: $a_0 = x_0$ e $a_n = x$, para $n \geq 1$ e algum $x$ a nossa escolha tal que $x \in \{x_n | n \in \mathbb{N}\} \cap B_{\frac{1}{n}}(x')$. Note que tal $x$ existe, uma vez que $x'$ é ponto de acumulação. Afirmamos que $a_n \rightarrow x'$ e, para mostrar isso, tomemos $A$ aberto tal que $x' \in A$. Como $A$ é aberto, existe $\epsilon > 0$ tal que $B_{\epsilon} (x') \subset A$. Nesse sentido, ao considerarmos $n > \frac{1}{\epsilon}$, teremos que $B_{\frac{1}{n'}}(x') \subset B_{\epsilon}(x')$ para todo natural $n' \geq n$. Assim, $a_{n'} \in A$ para todo $n' \geq n$, comprovando a convergência da sequência.