Primeiramente, mostramos que um espaço topológico \(X\) é hereditariamente de Lindelöf \(\Longleftrightarrow\) toda família \(\mathcal U\) de abertos possui subfamília enumerável \(\mathcal U'\) tal que \(\bigcup \mathcal U = \bigcup \mathcal U'\)

\((\Rightarrow)\)

\(\bigcup \mathcal U\) é uma cobertura de \(U = \bigcup \mathcal U\) e, como \(X\) é hereditariamente de Lindelöf, \(U\) é de Lindelöf, então existe \(\mathcal U' \subset \mathcal U\) subcobertura enumerável; \(\bigcup \mathcal U = \bigcup \mathcal U'\)

\((\Leftarrow)\)

Seja \(S \subset X\) e \(\mathcal C\) cobertura aberta de \(S\). Por hipótese, existe \(\mathcal C' \subset \mathcal C\) enumerável tal que \(\bigcup \mathcal C = \bigcup \mathcal C'\), isto é, \(\mathcal C\) tem subcobertura enumerável.


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Dado \(\mathcal F\)  família de aberta  de \(\mathbb{R}_s\) temos que cada \(F \in \mathcal F\) é da forma \(F = [a, b)\) com \(a, b \in \mathbb{R}\). Seja então \(\mathcal F_\mathbb{R} = \{(a,b) : [a, b) \in \mathcal F \} \) e \(A = \bigcup \mathcal F \backslash \bigcup \mathcal F_\mathbb{R}\). Afirmamos que A é enumerável: Seja \(x \in A\). Então \(x\) é o limite à esquerda de algum \([x,y) \in \mathcal F\). Assim, existe \(\epsilon_x \in \mathbb{R}\) tal que \((x, x + \epsilon_x) \subset (x,y) \in \mathcal F_\mathbb{R}\). Isto é, \(A \cap (x, x+ \epsilon_x) = \emptyset\). Dessa forma, \(B = \{(x, x + \epsilon_x) : x \in A\}\) é um conjunto de abertos dois-a-dois disjuntos, logo, enumerável*. Segue, então, que \(A\) é enumerável.

Agora, como \(\mathbb{R}\) é hereditariamente de Lindelöf, pois tem base enumerável, tomemos \(\mathcal F'_\mathbb{R} \subset \mathcal F_\mathbb{R}\) enumerável tal que \(\bigcup \mathcal F'_\mathbb{R} = \bigcup \mathcal F_\mathbb{R}\). Defina \(\mathcal F' = \{[a, b) : (a,b) \in \mathcal F'_\mathbb{R} \}\), temos que \(\mathcal F' \subset \mathcal F\) então para cada \(x \in A\) escolhemos um \([a, b) \in \mathcal F\) tal que \(x \in [a, b)\). Chamamos tal conjunto de \(D\) e concluímos que \(D \cup \mathcal F'\) é uma subfamília enumerável de \(\mathbb{R}_s\).

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(*) Se não o fosse, \(A\), que é cobertura de \(\bigcup A\), não teria subcobertura enumerável, contradição com o fato de que \(\mathbb{R}\) é hereditariamente de Lindelöf.