Suponha que não.\\
Então, existe $D_\omega \subset X$ discreto fechado e infinito, tal que $D_\omega = \{d_k: k \in \omega\}$. \\
Defina $f : D_\omega \rightarrow \mathbb{R}$, como sendo $f(d_k) = k$, para todo $d_k \in D_\omega$.\\
Note que, estamos sob as hipóteses do Teorema da Extensão de Tietze, pois $X$ é normal e $f$ é uma função contínua, definida num subconjunto fechado de $X$.\\
Portanto, existe $g : X \rightarrow \mathbb{R}$, extensão contínua de $f$.\\
Note $g [X]$ é ilimitado, logo $X$ não é pseudocompacto, contradição.