Seja $F = \prod_{i \in I} F_i$ e $(x_i) \in X\backslash F$. Vamos mostrar que existe um aberto $A \subset X$ tal que $(x_i) \in A \subset X \backslash F$.

Escolha $x_j$ uma coordenada de $(x_i)$ para um $j$ fixado. Como $(x_i) \in X\backslash F$, $x_j \in X_j \backslash F_j = A_j$ (aberto, pois $F_j$ é fechado). Assim, $\pi_{j}^{-1}[A_j]$ é um aberto de $X$, pois $\pi_j$ é contínua. Mas então, tomando $A =  \pi_{j}^{-1}[A_j] = \prod_{i \in I}A_i$ com $A_i = X_i$ se $i \neq j$, temos que $(x_i) \in A$ e que $A \subset X\backslash F$\\
($A \cap F = \emptyset$ pois dado $(a_i) \in A, a_j \notin F_j$)\\

Concluímos que $X \backslash F$ é aberto e portanto $F$ é fechado.

Além disso, suponhamos que dados $O_i \subset X_i$ abertos, $O = \prod_{i \in I} O_i$ é aberto em $X$. Então, dado $o \in O$, podemos usar $\mathcal B$ a base enunciada no exercício 7 para encontrar um $B \in \mathcal B$ tal que $o \in B \subset O$. Mas, por definição, para esse $B \in \mathcal B$ temos $X_i = \pi_i(B)$ para todo $i \in I'$, com $I'$ sendo um subconjunto cofinito de $I$. Se particularmente $O_i \neq X_i$ para $i \in I''$ ($I''$ um subconjunto infinito de $I$) então essas duas coisas são incompatíveis, uma vez que precisamos que $I'' \subset I\backslash I'$, pois se tivermos $j \in I''$ e $j \in I'$ então $\pi_j[B] = X_j \subset O_j \neq X_j$, absurdo.