Solução 1) A ordem $\leq^*$ definida [[lista:dominante#id0_1-2|nesta lista]] é uma pré-ordem, mas não possui a propriedade antissimétrica. De fato, se $f \leq^* g$ e $g \leq^* f$ não temos que os conjuntos $\{n \in \omega : f(n) > g(n)\}$ e $\{n \in \omega: g(n) > f(n)\}$ são iguais.


Solução 2) Considere a ordem $(X,\leq)$ de forma que $x \leq y$, com $x,y \in \mathcal {P}(X)$, se $\exists f: x \rightarrow y$ injetora. Mostremos que isso define uma pré-ordem que não é uma ordem: 

1) Temos que a função identidade $I: x \rightarrow x$ é uma injeção, portanto $x \leq x$. 

2) Suponha que existam $f: x \rightarrow y$ e $f': y \rightarrow w$ injetivas. Temos que $f'\circ f: x \rightarrow w$ é injetiva, portanto $x \leq y$ e $y \leq w$ implica que $x \leq w$. 

3) Suponha que $x \neq y$, com $|x| = |y|$. Bem ordene $x$ e $y$ e depois defina a função $f: x \rightarrow y$ associando cada elemento em $x$ com o elemento em $y$ de mesma posição de acordo com a boa ordem. Analogamente para  $f': y \rightarrow x$. Como $f$ e $f'$ são bijeções, então $x \leq y$ e $y \leq x$.