Suponhamos que $F$ converge para mais de um ponto. Queremos então mostrar que se $X$ é Hausdorff, então $F$ não é ultrafiltro.

Sejam $a,b \in X$ pontos para os quais $F$ converge. Nesse caso, toda vizinhança $V$ de $a$ e $U$ de $b$ pertence ao filtro $F$. Em particular, $A,B \in F$ para todos os abertos $A$ e $B$ tais que $a \in A$ e $b \in B$. Mas sendo $X$ Hausdorff, temos que existem abertos $A$ e $B$ tais que $a \in A$, $b \in B$ e $A \cap B = \emptyset$, contradizendo que $F$ é filtro.