Como $A$ é enumerável, consideremos $A = \{a_i : i \in \omega\}$.

Suponha que $\wp(A)$ é enumerável. Neste caso temos $\wp(A) = \{B_i : i \in \omega\}$. Tomemos agora $B = \{a_i \in A : a_i \notin B_i\}$ onde, para cada $i \in \omega$, se $a_i \in B_i$ então $a_i \notin B$ e se $a_i \notin B_i$ então $a_i \in B$. Note que $B \neq B_i$ para todo $i \in \omega$, portanto $B \notin \wp(A)$. Absurdo.