Seja $X$ um ordinal, mostraremos que $X \cup \{ X \}$ é transitivo e bem ordenado por "$\in$".

Primeiramente mostramos que "$\in$" é uma ordem estrita.

$\circ$ Irreflexividade: Seja $x \in X \cup \{ X \}$, $x \notin x$ pelo axioma da fundação. 

$\circ$ Transitividade: Sejam $x,y,z \in X \cup \{ X \}$ tais que $x \in y \in z$. Temos dois casos a analisar, o primeiro é $z = X$, neste caso, como $X$ é transitivo e $y \in z = X$ então $x \in z$. No segundo caso $z = \{ X \} $, logo $y = X$ e então $x \in X$, ou seja $ x \subset X$, portanto $x \in z$.

$\circ$ Assimetria: Sejam $ x,y \in X \cup \{ X \}$ tal que $ x \in y$. Se $ y = X$, como $ x \in y$, então $ y \notin x$, pois $ X \notin X$. Se $y  = \{ X \}$ então $ x = X$ e novamente $ y \notin x$ pois se $y \in x $ temos que $\{ X \} \in X$, que é um absurdo.

Da propriedade transitiva, nota-se que o conjunto é transitivo.

Note que essa ordem é Total, pois, dados $ x,y \in X \cup \{ X \}$, tais que $x \neq y$. Seja $y = X$ então $x = \{ X \}$, mas $ X \in \{ X \}$, logo $ y \in x$. Por outro lado, se $ y = \{ X \}$ temos que $ x = X$ e portanto $ x \in y$.

E note também que é uma boa ordem, pois suponha $ A \subset X \cup \{ X \} $, então $ A = X$ ou $A \in X$, como $X$ é um ordinal, e por sua vez bem ordenado por "$\in$", em ambos os casos $ \exists a \in A$ tal que $a \in b$ para todo $ b $ em A.