===== Solução =====

Construiremos $f'$ a partir de $f$, estendendo-a para $a_{n+1}$. Assim, $f'(a_i) = f(a_i)$ para todo $i \in \{0,1,2,3,\dots,n\}$. Para determinarmos $f'(a_{n+1})$, consideremos primeiro o caso em que $a_{n+1} > a_k$ para todo $k \in \{0,1,2,3,\dots,n\}$. Como $Y$ não admite maior elemento, sabemos que existe $a > \max\{f(a_0),f(a_1),f(a_2),\dots,f(a_n)\}$. Assim, ao definirmos $f'(a_{n+1}) = a$, estendemos $f$. Analogamente, suponhamos que $a_{n+1} < a_k$ para todo $0 \leq k \leq n$. Como $Y$ não admite menor elemento, sabemos que existe $a < \min\{f(a_0),f(a_1),f(a_2),\dots,f(a_n)\}$, de maneira que podemos estender $f'(a_{n+1}) = a$. 

Agora, suponhamos que existam $i,j \in \{0,1,2,3,\dots,n\}$ tais que $a_i < a_{n+1} < a_j$. Assim, podemos selecionar os elementos $a_{i'}= \max\{a_k, 0 \leq k \leq n \mid a_k <a_{n+1}\}$ e $a_{j'} = \min\{a_k, 0 \leq k \leq n \mid a_{n+1} < a_k \}$, de maneira que $a_{i'} < a_{n+1} < a_{j'}$. Como $Y$ é dotado de uma ordem densa, sabemos que existe $a \in Y$ tal que $f(a_{i'}) < a < f(a_{j'})$, permitindo-nos definir $f'(a_{n+1}) = a$. Assim, se $a_k < a_{n+1}$, isso significa que $a_k \leq a_{i'}$ e, portanto, $f(a_k) \leq f(a_{i'}) < f(a_{n+1})$. Analogamente, se $a_k > a_{n+1}$, isso significa que $a_{j'} \leq a_k$, de maneira que $f(a_{n+1}) < f(a_{j'}) \leq f(a_k)$, verificando que a extensão realmente preserva a ordem.