Seja $\mathcal C$ cobertura aberta para $\omega_1+1$. Defina $A = \{x \in \omega_1+1 : \exists \mathcal C' \subset \mathcal C$ finito tal que $[0,x] \subset \bigcup_{C \in \mathcal C'}{C}\}$, onde $0 = \min{\omega_1}$. Note que $A \neq \emptyset$, pois $0 \in A$. Basta provarmos que $\{\omega_1\} \in A$.

Observe que $\{\omega_1\} = \sup{A}$. De fato, suponha $x = \sup{A}$ com $x < \{\omega_1\}$. Seja $C \in \mathcal C$ contendo $x$, considere $]a,b[$ tal que $x \in ]a,b[ \subset C$. Tome então $y \in ]a,x[$ e $z \in ]x,b[$. Como $y < x$, $y \in A$ e existe $\mathcal C' \subset \mathcal C$ finito que cobre $[0,y]$, logo $\mathcal C' \cup \{C\}$ cobre $[0,z]$ e portanto $z \in A$. Mas $z > x$, absurdo.

Provemos agora que $\{\omega_1\} \in A$. Tome $C \in \mathcal C$ tal que $\{\omega_1\} \in C$ e considere $]a,\{\omega_1\}] \subset C$. Seja $x \in ]a,\{\omega_1\}[$. Então $x \in A$ e existe $\mathcal C' \subset \mathcal C$ finito que cobre $[0,x]$. Note que $\mathcal C' \cup \{C\}$ cobre $[0,\{\omega_1\}] = \omega_1+1$.