Como $\mathcal{A} \models \exists x \varphi$, podemos escrever $\exists a \in A \ \mathcal{A} \models \exists x \varphi [a]$

Note que $\varphi$ é uma fórmula de rank menor ou igual a $n$. Como temos $II \uparrow (\mathcal{A}, \mathcal{B}, n+1)$, usamos o exercício 1 e temos que $\exists b \in B \ II \uparrow ((\mathcal{A},a), (\mathcal{B},b), n)$. Pela hipótese, $(\mathcal{A},a) \equiv ^n (\mathcal{B},b)$.

Isso significa que $(\mathcal{B},b) \models \exists x \varphi (\textbf{c})$, em que $\textbf{c}$ é a constante interpretada como $a$.

Pode-se fazer analogamente começando com $\mathcal{B}$ e portanto $\mathcal{A} \equiv ^n \mathcal{B}$