Dado $\varepsilon>0$ fixo mas arbitrário, $\mathbb P_{\varepsilon}$ é ccc e $\mathcal D = \{D_r: r\in X\}$ é uma família de densos con $|\mathcal D|=|X|$. Se vale $MA_\kappa$ e $|X|=\kappa$ então existe $G$ filtro sobre $\mathbb P_{\varepsilon}$ tal que $G$ é $\mathcal D$-genérico. Note que $g=\bigcup G$ é extensão de todo elemento de $G$.

Seja $r \in X$ qualquer, existe $f \in G \cap D_r$, logo $f \in G$ e existe $n \in dom(f)$ tal que $r \in I_{f(n)}$.
Mas $g$ é extensão de $f$, logo $n \in dom(g)$ e $r \in I_{g(n)}$, então $r \in \bigcup_{n \in don(g)} I_{g(n)}$.
Portanto, $X \subset \bigcup_{n \in don(g)} I_{g(n)}$.

Note que para cada $n \in dom(g)$, existe $f \in G$ tal que $f(n)=g(n)$. Mas $f \in \mathbb P_{\varepsilon}$, logo
$diam(I_{f(n)})<x_n$, então $diam(I_{g(n)})<x_n$. Portanto, $\sum_{n \in dom(g)}diam(I_{g(n)})<\sum_{n \in dom(g)}x_n \leq \sum_{n=0}^{\infty}x_n=\varepsilon$.

Assim, $\inf\{\sum_{n = 0}^\infty diam(J_n):$ cada $J_n$ é um intervalo aberto de extremos reais e $X \subset \bigcup_{n \in \omega} J_n\} = 0$. Daí, $X$ tem medida nula.