Basta mostrar que cada parcela de $\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi}$ é enumerável. Note que $\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi} \cap \bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta} \subset \{x_{\zeta} : \zeta < \xi\}$, então $|\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi} \cap \bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta}| \leq \omega$, note que $\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi} \cap \mathbb R \setminus \bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta} \subset \{x_{\xi}\}$, então $|\{x_{\xi} : \xi < \mathfrak{c}\} \cap F_{\xi} \cap \mathbb R \setminus \bigcup_{\zeta < \xi} F_{\zeta}| \leq \omega$. Portanto, a sequência satisfaz (2) e assim, a construção é possível.