===== Solução =====

Denotemos por $dom(f)$ o conjunto dos pontos para os quais $f$ já está definida. Note que, nesse conjunto, incluimos o elementos para os quais já estendemos $f$ e as imagens de $f^{-1}$ que já estão definidas. Além disso, como esse é um passo de nosso processo indutivo, $dom(f)$ é finito. Tomemos $k = \min \{n \in \mathbb{N} \mid a_n \in X \setminus dom(f)\}$. Pelo primeiro exercício, podemos estender $f : dom(f) \to \mathbb{Q}$ para $a_k$ de forma injetiva e preservando a ordem de $a_k$ com relação aos demais elementos de $dom(f)$. Feito isso, temos $f(a_k) = q_i$ para algum $i \in \mathbb{N}$. Nesse contexto, $q_i \in  Im(f)$, em que $Im(f)$ (o conjunto imagem de $f$) é também finito. Seja $s = \min\{n \in \mathbb{N} \mid q_n \in \mathbb{Q}\setminus Im(f)\}$. Como $X$ possui ordem densa, sem menor e sem maior elemento, podemos estender $f^{-1}: Im(f) \to X$ para $q_s$ de maneira injetiva e preservando a ordem desse elemento com os demais racionais de $Im(f)$. Sendo $a_j$ a imagem de $q_s$ por $f^{-1}$, concluimos agora que $a_j \in dom(f)$.

Realizando esse processo indutivamente, a nossa escolha de $k$ como menor índice dos elementos de $X$ para os quais $f$ ainda não está definida fará com que, ao final do processo, $dom(f) = X$. Do mesmo modo, nossa escolha de $s$ como menor índice dos elementos de $\mathbb{Q}$ para os quais $f^{-1}$ ainda não está definida fará com que, ao final da construção, $f^{-1}$ esteja definida para todos os números racionais. Em outras palavras, no término da indução teremos $f$ definida para todo $X$ com imagem em todo $\mathbb{Q}$, de maneira que essa será uma bijeção entre esses conjuntos. Como as estensões foram realizadas de maneira a preservar a ordem dos elementos de cada conjunto, em conformidade com o exercício 1, teremos $f$ um isomorfismo de ordem.