Seja $(X, \tau) $ um espaço topológico.
    
"$\subset$"

Seja $x \in \overline A$, tome $F \in \mathcal{F}$. Supondo que $x \notin F$, então $x \in F^c \in \tau$. Assim $F^c \cap A \neq \emptyset$, contradição.

"$\supset$"
Seja $x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F} } F$, temos que $\overline A \in \mathcal{F}$ pois é um conjunto fechado, ou seja, $x \in \overline A$.