Precisamos ser cuidadosos para não usar o axioma da escolha sem querer querendo aqui. Tome $A \doteq \left( \bigcup X \right) \cup X $ (união). Considere $A^{<\omega}$. Considere:

\[
     T
     \doteq
     \overbrace{
     \{
          \langle \rangle
     \}
     \cup
     \underbrace{
     \{
          \langle x \rangle
          \, : \,
          x \in X
     \}
     }_{\text{I começa jogando elementos de } X}
     \cup
     \{
          \langle x,y,y,y,...\rangle \upharpoonright n
          \, : \,
          y \in x
          \, \land \,
          n \in \omega
     \}
     }^{\text{axiomas da seleção/reunião}}
\]

Observe que $[T]$ é discreto, logo qualquer alvo é //clopen// e portanto, se assumirmos $[GS]$ este jogo é determinado. Considere $(T,\emptyset)$, claramente II deve ter estratégia vencedora!

Considere $\rho$ uma estratégia de II neste jogo, note que para cada $\langle x \rangle $ jogada de I, $\rho$ deve saber responder univocamente com $\langle x,y \rangle $. Note que

\[
     f_\rho
     \doteq
     \{
          (x,y) \in A^2
          \, : \,
          \langle x,y \rangle \in \rho
     \}
\]

é uma função escolha de $X$.