Seja $X$ enumeravelmente compacto e $F \subset X$ fechado.\\
Queremos mostrar que $F$ é enumeravelmente compacto.\\
De fato, seja $\mathcal U = \{U_i\}_{i \in \omega}$ cobertura enumerável para $F$. Seja $U_i^*$ aberto em $X$, tal que $U_i = U_i^* \cap F$, para todo $i \in \omega$.\\
Note que $\mathcal U^* = \{U_i^*: U_i \in \mathcal U\} \cup \{(X \setminus F)\}$ é uma cobertura enumerável, para $X$.\\
Como $X$ é enumeravelmente compacto, existe $\mathcal U'^* \subset \mathcal U^*$ subcobertura finita para $X$:
$$\mathcal U'^* = \{U_1^*, ...,U_n^*\} \cup \{(X \setminus F)\}$$
Note que $\mathcal U'^*$ induz uma subcobertura finita em $F$:
$$ \mathcal U' = \{ U_1, ..., U_n\} $$
Então, dada uma cobertura enumerável $\mathcal U$ para $F$, existe uma subcoberta finita, logo $F$ é enumeravelmente compacto.