Suponha $X$ compacto. \\
Seja $\mathcal{F}$ família centrada de fechados de $X$ e $\mathcal{C}:=\{F^c:F \in \mathcal{F}\}$. \\
Se $\bigcap_{\mathcal{F}F}=\emptyset$, então $\bigcup_{\mathcal{C}}C=X$, isto é, $\mathcal{C}$ é cobertura para $X$ e portanto existe $\mathcal{C'}$ subcobertura finita. \\
Mas para $\mathcal{F'}:= \{ C^c : C \in \mathcal{C'} \}$ temos $\bigcap_{\mathcal{F'}}F=\emptyset$