Seja $A$ uma família dominante qualquer. Suponha que $A$ não é ilimitada, isto é, existe $h \in \omega^\omega$ tal que para todo $f \in A ,f\leq^*h$. Vamos ver que isto implica que a família $\omega^\omega$ não é ilimitada.

Com efeito, dado $g \in \omega^\omega$ arbitrário, existe $f \in A$ tal que $g\leq^*f$ (pois $A$ é dominante), logo $f\leq^*h$ (pois $A$ não é ilimitada). Então $g\leq^*h$.

Portanto, existe $h \in \omega^\omega$ tal que, para todo $g \in \omega^\omega$, $g \leq^* h$, o que é absurdo.