$(1) \Rightarrow (2)$: Dado $x \in X$ e um aberto $A \subset X$ tal que $x \in A$, temos um $F$ fechado correspondente $F = X \backslash A$ tal que $x \notin F$. Como $X$ é $T_3$, temos então $V \subset X$ e $Q \subset X$ abertos disjuntos ($V \cap Q = \emptyset$ ) tal que $x \in V$ e $F \subset Q$.\\

Assim, $\overline{V} \cap Q = \emptyset$ (pois Q é aberto) e consequentemente $\overline{V} \subset X \backslash Q \Rightarrow \overline{V} \subset X \backslash F = A$\\

$x \in V \subset \overline{V} \subset A$.

$(2) \Rightarrow (1)$: Dado um $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$, existe $A = X\backslash F$ aberto de $X$ tal que $x \in A$. Por hipótese existe $V$ aberto tal que $x \in V \subset \overline{V} \subset A$, então $F \subset Q = X \backslash \overline{V}$ que é um aberto de X. Além do mais, $V$ e $Q$ são disjuntos pois $V \cap Q = V \cap (X \backslash \overline{V}) = \emptyset$.