* $dom(\varphi) \subset \omega$
Como para cada $f \subset \varphi$ temos $dom(f) \subset \omega$ concluímos que $dom(\varphi) \subset \omega$.

  * $\omega \subset dom(\varphi)$
Suponha que $\omega \not\subset dom(\varphi)$, isso significa que existe $n \in \omega$ tal que $n \notin dom(\varphi)$. Mas então não existe $f \in F$ tal que $n \in dom(f)$, isto é, $F \cap D_n = \emptyset$, um absurdo.