Queremos mostrar que existe $D \subset X$ enumerável e denso.

Seja $\mathcal{B} = \{ B_n | n \in \mathbb{N} \}$ uma base enumerável de $X$.  Para cada $B_n \in \mathcal{B}$ escolhemos um $x_n \in B_n$. O conjunto $D = \{ x_n | x_n \in \mathbb{N} \}$ é enumerável, pois $\mathcal{B}$  é. $D$ também é denso, pois, seja $A \in \tau$ temos que, se $x \in A$ existe $B_n \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_n$ e $B_n \subset A$. Mas $x_n \in B_n$ e $x_n \in D$. Portanto $D \cap A \neq \emptyset$.