$\Rightarrow$) Seja $D \subset X$ denso no sentido de ordem. Tome $A \subset X$ um aberto não vazio, que por definição é de um dos três tipos: 

$$]a, b[ = \{x \in X: a < x \text{ e } x < b\}$$
$$]-\infty, b[ = \{x \in X: x < b\}$$
$$]a, +\infty[ = \{x \in X: a < x\}$$

Se $A$ for do primeiro tipo, tome $x \in X$ tal que $a < x < b$, que existe pela densidade de $\leq$. Agora, tome $y \in X$ tal que $x < y < b$. Note que $]x, y[$ é um aberto de $X$ contido em $A$. Por definição, existe $d \in D$ tal que $x \leq d \leq y$. Mas então $a < d < b$, portanto $d \in D$ e $D\cap A \neq \emptyset$. 

Se $A$ for do segundo tipo (ou do terceiro, que é análogo) tome $]-\infty, b[$ = $\bigcup_{c \in X; c < b}$ $]c, b[$. Pelo mesmo motivo do primeiro caso, existe $d \in D$ tal que $d \in  ]c,b[$ para cada $c < b$, e portanto $D\cap A \neq \emptyset$. 

Assim temos que para todo $A \subset X$, $D\cap A \neq \emptyset$, ou seja, $D$ é denso topologicamente.

$\Leftarrow$) Seja $D \subset X$ denso topologicamente. Tome $a$ e $b$ dois pontos de $X$, com $b$ > $a$. Temos que $]a,b[$ é um aberto não vazio devido a densidade de$\leq$. Por hipótese, existe $d \in D$ tal que $d \in ]a,b[$. Ou seja, dados $a$ e $b$ de $X$, existe $d \in D$ tal que $a < d < b$. Portanto $D$ é denso no sentido de ordem.