=====Solução=====

Tomemos $\mathcal{C}$ uma cobertura sobre $X$ e, por um momento, suponhamos que o resultado não é válido. Assim, para todo $r > 0$, existe $x \in X$ tal que $B_r(x) \not\subset C$ para todo aberto $C \in \mathcal{C}$. Com base nisso, definiremos a sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ como sendo: $x_n = x$, em que $x$ é tal que $B_r(x) \not\subset C$ para todo aberto $C \in \mathcal{C}$ para $r = \frac{1}{n+1}$. Por hipótese, existe uma subsequência convergente para essa sequência e seja ela denotada por $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Seja $x' \in X$ o elemento para o qual ela converge. Como $\mathcal{C}$ é uma cobertura sobre $X$, existe $\epsilon > 0$ tal que $B_{\epsilon}(x) \subset A$. Como $x'$ é ponto de acumulação, seja $a_n \in \{a_n : n \in \mathbb{N}\} \cap B_{\frac{\epsilon}{2}}$ tal que $n+1 > \frac{2}{\epsilon}$. Seja também $x_0 \in B_{\frac{1}{n+1}}(a_n)$ um elemento qualquer desse aberto. Nesse sentido, temos $d(x', a_n) + d(a_n, x_0) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{1}{n+1} < \epsilon \Rightarrow d(x', x_0) < \epsilon$, mostrando assim, que $B_{\frac{1}{n+1}}(a_n) \subset B_{\epsilon}(x') \subset A$, o que contradiz a definição de nossa sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Ou seja, existe $r>0$ tal que, para todo $x \in X$, $B_r(x) \subset C$ para algum aberto $C$ da cobertura, como queríamos.