=====Solução=====

Por um momento, dada $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta sobre $X$, suponhamos que ela não admite subcobertura finita. Agora, tomemos $x_0 \in X$ um elemento qualquer. Assim, recursivamente, definiremos a sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ como: $a_0 = x_0$ e $a_n \in X \setminus (B_r(a_0) \cup B_r(a_1) \cup B_r(a_2) \cup ... \cup B_r(a_{n-1}))$, em que $r>0$ é tal que, para todo $x \in X$, existe $C \in \mathcal{C}$ tal que $B_r(x) \subset C$. Sobre essa construção, vale destacar que $r>0$ existe pelo resultado do exercício anterior e cada $a_n$ existe por supormos que $\mathcal{C}$ não admite subcobertura finita. Além disso, a definição dessa sequência nos mostra que $d(a_i, a_j) \geq r$ para quaisquer $a_i, a_j \in \{a_n:n \in \mathbb{N}\}$. Como, por hipótese, essa sequẽncia admite uma subsequência convergente $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, tomemos $x' \in X$ o ponto para o qual ela converge. Assim, existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $x_{n'} \in B_{\frac{r}{2}}(x')$ para todo $n' \geq n$. Assim, todo $n' \geq n$ é tal que $d(x_n, x_{n'}) \leq d(x_n, x') + d(x_{n'}, x') < \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r$, o que contradiz a construção de nossa sequência. Assim, $\mathcal{C}$ admite subcobertura finita, mostrando que $X$ é compacto, como queríamos.