$(\Longrightarrow)$ Como $X$ é enumerável, existe $f: \omega \to X$ sobrejetora. 
Assim, podemos chamar $x_n = f(n)$. Como $f$ é sobrejetora, temos que $X = \{ x_n : n \in \omega\}$.

$(\Longleftarrow)$ Considere $X=\{ x_n: n \in \omega\}$. Definimos a função $f: \omega \rightarrow X$ de modo que $ f(n) = x_n$. Como $X = \{x_n: n \in \omega\}$, $f$ é sobrejetora. Logo, $X$ é enumerável.