Tome $ x \in \overline{F}$. Temos que existe¹ uma sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N} } \subset F$ que converge para $x$. Assim, $(a_n)_{n \in \mathbb{N} }$ é de Cauchy. Como $F$ é completo, existe $y \in F$ tal que $a_n \rightarrow y$. Pela unicidade de limite de sequência, $x = y$ e, portanto, $\overline{F} \subset F $. Ou seja $F$ é fechado. 

1 - [[http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/aurichi/exerc/doku.php?id=lista:fechadosacumulacao#id0_1-15| Axiomas de separação: Exercício 9]]