=====Solução=====

Seja $A \subset X$ um subconjunto infinito qualquer. Por um momento, suponhamos que $A$ não admite um ponto de acumulação. Assim, todo $x \in X$ é tal que $B_{\epsilon}(x) \cap A = \{a\}$ ou $B_{\epsilon}(x) \cap A = \emptyset$ para algum $\epsilon > 0$. Nesse sentido, seja $\mathcal{C}$ a família que contém cada uma dessas bolas abertas, uma para cada $x \in X$. Com isso, $\mathcal{C}$ é uma cobertura sobre $X$, de maneira que existe $\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}$ subcobertura finita para esse conjunto devido à sua compaxidade. Entretanto, como $\mathcal{C}'$ é finito e $A$ é infinito, temos que existem $a,b \in A$ distintos tais que $a,b \in C$ para algum aberto $C \in \mathcal{C}'$. Assim, $C \cap A$ possui mais mais de um elemento, o que caracteriza uma contradição. Por isso, $A$ deve possuir algum ponto de acumulação.