Primeiro vamos mostrar que é uma cobertura para $X$. Seja $x \in X$ e $k$ tal que $x \in V_k(m,j)$. Considere $f \in A_{j,k}^n$ tal que $dom(f) = 2$ e $f(1) = k$. Note que $\bigcap_{i=0}^{dom(f)-2}V_{f(i+1)}(m+i,f(i)) = V_k(m,j)$. Logo $x \in W_k^n(m,j)$. 

Agora seja $x \in W_k^n(m,j)$. Por definição existe $f\in A_{j,k}^n$ tal que $x\in V_{f(1)}(m,f(0)),...,V_{f(\ell-1)}(m+\ell-2,f(\ell-2))$ com $dom(f)=\ell$ e $f(\ell-1)=k$. Tome $g \in^{\ell} \omega$ de forma que $g(a) = f(a)$ se $a < \ell - 1$ e $g(\ell - 1) = k + 1$. Note que $\bigcap_{i=0}^{dom(g)-2}V_{g(i+1)}(m+i,g(i)) = \bigcap_{i=0}^{dom(f)-2}V_{f(i+1)}(m+i,f(i))$, logo $x \in W_{k+1}^n(m,j)$. Com isso concluímos que é crescente.