Sejam $x \in X$ e $\tau \in^m j$. Temos que $\{U_{\tau^{\frown} i}: i\in\omega\}$ é uma cobertura crescente para $X$, logo existe $k_{\tau} \in \omega$ tal que $x \in U_{\tau^{\frown} k_{\tau}}$. Seja $k = max\{k_{\tau}: \tau \in^m j\}$, que existe pois $^m j$ é finito. Note que $x \in \cap_{\tau \in^m j}U_{\tau^{\frown} k}$, pois como $\{U_{\tau^{\frown} i}: i\in\omega\}$ é uma cobertura crescente, então para todo $j \geq k_{\tau}$ temos que $U_{\tau^{\frown} k_{\tau}} \subset U_{\tau^{\frown} j}$. Daí, pela forma em que $k$ foi definido, segue que $x \in U_{\tau^{\frown} k}$ para qualquer $\tau$ em ${}^{m}j$. Com isso concluímos que $\{V_k(m,j):k\in\omega\}$ é uma cobertura para $X$. 

Para mostrarmos que é uma cobertura crescente considere $x \in V_k(m,j)$. Por hipótese $U_{\tau^{\frown} k} \subset U_{\tau^{\frown} k+1}$, daí segue que $x \in U_{\tau^{\frown} k+1}$ para todo $\tau \in^m j$. Portanto $x \in V_{k+1}(m,j)$.