1 $\Rightarrow$ 2:

Seja $F$ ultrafiltro e $a \in A$. Suponha que $a \notin F$. Temos então que $b \nleq a$ para todo $b \in F$, o que é equivalente a $b-a \neq 0$ para todo $b \in F$.

Considere agora o conjunto $E = F \cup \{-a\}$. Do fato anterior, temos que $E$ é centrado. Daí obtemos o filtro $F'$ gerado por $E$. Note que $F \subset F'$. Como $F$ é ultrafiltro, temos então que $F = F'$, logo $-a \in F$.

2 $\Rightarrow$ 3:

Seja $a+b \in F$ e suponha que $a \notin F$. Pela hipótese, $-a \in F$. Daí temos $(-a) \cdot (a+b) = (-a) \cdot a + (-a) \cdot b = b-a \in F$.

Note agora que $b-a \leq b$. De fato, $(b-a) \cdot b = b(-a) \cdot b = b-a$. Portanto $b \in F$.

3 $\Rightarrow$ 1:

Seja $F'$ filtro tal que $F \subset F'$ e seja $a \in F'$. Mostraremos que $a \in F$ e portanto $F = F'$.

Considere $a + (-a) = 1$. Como $F$ é filtro, $1 \in F$, então por hipótese $a \in F$ ou $-a \in F$. Mas note que se $-a \in F$, então $-a \in F'$, logo $a \cdot (-a) = 0 \in F'$, o que é absurdo por $F'$ ser filtro. Portanto $a \in F$.

2 $\Rightarrow$ 1:

Suponha que $F$ não seja ultrafiltro. Então $\exists G$ tal que $F \subsetneq G$. Como $F$ é subconjunto próprio, $\exists g \in G$ tal que $g \notin F$. Assim, por hipótese, $-g \in F$, mas então $-g \in G$. Absurdo, pois $g - g = 0$ e $0 \notin G$ ($G$ é filtro).