Sejam $p,q \in \beta\omega$ distintos. Como $p \neq q$, sem perda de generalidade, podemos assumir que existe $A \subseteq \omega$ tal que $A \in p$ e $A \not\in q$. 

Pelo Exercício 1.1 temos que $p \in \bar{A}$ e $q \in \beta\omega \setminus \bar{A}$, mas pelo Exercício 1.3 temos $\beta\omega \setminus \bar{A} = \overline{\omega \setminus A}$.

Portanto, encontramos abertos $\bar{A}, \overline{\omega \setminus A} \subseteq \beta\omega$ disjuntos tais que $p \in \bar{A}$ e $q \in \overline{\omega \setminus A}$.