$(X, \tau)$ um espaço topológico.

Seja $ A \in \tau$, considere $x \in A$ qualquer, então existe $B \subset A$ aberto tal que $x \in B $ uma vez que $\mathcal{B_x} $ é uma base local para $x$. Note que $\mathcal{B_x} \subset \mathcal{B} = \bigcup_{x \in X} \mathcal{B_x}$, ou seja $B \in \mathcal{B}$.