Para todo $b \in X$ temos:

$a+b \leq a + \sup_{x \in X} x$.

Se $\sup_{x \in X} x$ é maior que $a+b$ para todo $b \in X$, $\sup_{x \in X} x$ é um majorante do conjunto $\{x+a : x \in X \}$, sendo, portanto, maior que o supremo desse conjunto. 

$\sup_{x \in X} a+x \leq a + \sup_{x \in X} x$.

Para todo $b \in X$, temos:

$b \leq b+a \leq \sup_{x \in X} a+x$

$b \leq \sup_{x \in X} a+x$.

Logo, $\sup_{x \in X} a+x$ é majorante do conjunto $\{x: x \in X \}$, sendo, portanto, maior que o supremo desse conjunto. 

$\sup_{x \in X} x \leq \sup_{x \in X} a+x$

Além disso, temos que:

$a \leq a+b \leq \sup_{x \in X} a+x$

$a \leq \sup_{x \in X} a+x$.

Somando as duas desigualdades, temos:

$a + \sup_{x \in X} x \leq \sup_{x \in X} a+x + \sup_{x \in X} a+x$

$a + \sup_{x \in X} x \leq \sup_{x \in X} a+x$.

Se $\sup_{x \in X} a+x \leq a + \sup_{x \in X} x$ e $a + \sup_{x \in X} x \leq \sup_{x \in X} a+x$, então $a + \sup_{x \in X} x = \sup_{x \in X} a+x$.