Fixados $a \in X$ e $b \in Y$.

$F(a,b) \leq \sup_{x \in X} F(x,b)$.

Variando o $y$, consideremos o supremo de ambos os lados da desigualdade:

$\sup_{y \in Y} F(a,y) \leq \sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y)$.

Como esse resultado vale para todo $a \in X$, $\sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y)$ é um majorante para $\sup_{y \in Y} F(a,y)$, sendo, portanto, maior que o supremo desse conjunto. Logo:

$\sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y) \leq \sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y)$.

Analogamente:

$F(a,b) \leq \sup_{y \in Y} F(a,y)$.

Variando o $x$, consideremos o supremo de ambos os lados da desigualdade:

$\sup_{x \in X} F(x,b) \leq \sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y)$.

Como esse resultado vale para todo $b \in Y$, $\sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y)$ é um majorante para $\sup_{x \in X} F(x,b)$, sendo, portanto, maior que o supremo desse conjunto. Logo:

$\sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y) \leq \sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y)$.

Se $\sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y) \leq \sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y)$ e $\sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y) \leq \sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y)$, então

$\sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x,y) = \sup_{x \in X} \sup_{y \in Y} F(x,y) \blacksquare$.