Para demonstrar essa proposição, precisaremos do seguinte resultado:

Seja $A$ uma álgebra de Boole, para todo $a,b \in A$, se $a \leq b$, $-b \leq -a$. <wrap help>[[Demonstração:abc2.2|Demonstração]]</wrap>

Com esse resultado em mãos, temos que:

Para todo $b \in X$, $\inf_{a \in X} a \leq b$. Pelo resultado anterior:

$-b \leq -\inf_{a \in X} a$. 

Se $-\inf_{a \in X} a$ é maior ou igual a todo $-b$ tal que $b \in X$, então ele é um majorante do conjunto $\{-a : a \in X \}$. 

Se ele é majorante, é maior ou igual ao supremo desse conjunto. Logo: 

$\sup_{a \in X} -a \leq -\inf_{a \in X} a$.

Analogamente:

Para todo $b \in X$, $-b \leq \sup_{a \in X} -a$.

Logo, $-\sup_{a \in X} -a \leq b$.

Se $-\sup_{a \in X} -a$ é menor ou igual a todo $b \in X$, ele é um minorante do conjunto $\{a : a \in X \}$.

Então, ele é menor ou igual ao ínfimo desse conjunto. Ou seja:

$-\sup_{a \in X} -a \leq \inf_{a \in X} a$.

Usando novamente o resultado inicial: 

$-\inf_{a \in X} a \leq \sup_{a \in X} -a$.

Se $\sup_{a \in X} -a \leq -\inf_{a \in X} a$ e $-\inf_{a \in X} a \leq \sup_{a \in X} -a$, então $-\inf_{a \in X} a = \sup_{a \in X} -a$ $\blacksquare$.