Para todo $x \in A$ temos: 

$f(x)+g(x) \leq \sup_{x \in X} f(x) + g(x)$, pois $f(x) \leq \sup_{x \in X} f(x)$.

Analogamente, temos que:

$f(x)+g(x) \leq f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$, pois $g(x) \leq \sup_{x \in X} g(x)$.

Somando as duas desigualdades:

$f(x)+g(x)+f(x)+g(x) \leq f(x)+g(x)+ \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$.

Somando $-f(x)+(-g(x))$ de ambos os lados da desigualdade, temos:

$f(x)+(-f(x))+g(x)+(-g(x))+f(x)+g(x) \leq f(x)+(-f(x))+g(x)+(-g(x))+ \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$.

$f(x)+g(x) \leq \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$.

Como $f(x)+g(x) \leq  \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$ e $\sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) \leq \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$ (pois, caso contrário, o primeiro não seria supremo de $f(x)+g(x)$), então:

$f(x)+g(x) \leq  \sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) \leq \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$

$\sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) \leq \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$.

Temos também que $f(x) \leq f(x)+g(x)$. Logo:

$\sup_{x \in X} f(x) \leq \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$.

Analogamente, como $g(x) \leq f(x)+g(x)$,

$\sup_{x \in X} g(x) \leq \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$.

Somando as duas desigualdades, temos:

$\sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) \leq \sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) + \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$.

Como trata-se de uma álgebra de Boole, $\sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) + \sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) = \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$. Portanto,

$\sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) \leq \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$.

Como $\sup_{x \in X} (f(x)+g(x)) \leq \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$ e $\sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) \leq \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$, então $\sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) = \sup_{x \in X} (f(x)+g(x))$ $\blacksquare$.