Seja $R$ o conjunto de todas as retas em $\mathbb R^2$. Vamos considerar $R$ com uma ótima ordem. Para cada $r$ de $R$, tome o conjunto de pontos $A_r$ de forma que: 

  - $|r \cap A_r| = 2$
  - $A_s\subset A_r$ se $s\preceq r$, onde $\preceq$ representa a ótima ordem de $R$
  - $A_r$ não tenha 3 pontos colineares

Resta mostrar que essa construção é possível para toda reta em $R$. 

Seja $r\in R$. Vamos supor que, para todo $s \preceq r$, $A_s$ está definido. Como $A_s$ não possui $3$ pontos colineares, então $|r \cap A_s| \in \{0,1,2\}$. 

Seja $\mathbb{F}$ a família de retas que contêm dois pontos quaisquer de $A_s$. Caso $|r \cap A_s| = 0$, como $|\cup_{z \in \mathbb{F}} z| < \mathfrak c$, então $|r \cap (\cup_{z \in \mathbb{F}} z)| < \mathfrak c$, portanto existem pelo menos 2 pontos $x,y \in r$ tais que $x \notin r \cap (\cup_{z \in \mathbb{F}} z)$ e $y \notin r \cap (\cup_{z \in \mathbb{F}} z)$. Basta tomar $A_r = \{x,y\} \cup A_s$. 

Caso $|r \cap A_s| = 1$, pelo mesmo argumento anterior, como $|r \cap (\cup_{z \in \mathbb{F}} z)| < \mathfrak c$, então existe um ponto $x \in r$ tal que $x \notin r \cap (\cup_{z \in \mathbb{F}} z)$. Basta tomar $A_r = \{x\} \cup A_s$.

Caso $|r \cap A_s| = 2$, basta tomar $A_r = A_s$. Portanto, a construção é possível.