===== $\omega^\omega$ e o jogo de Menger =====

**~~#~~** Mostre que $\omega^\omega$ tem base enumerável e conclua que, portanto, é de Lindelöf.

**~~#~~** Considere $\mathcal O^*$ a coleção de todas as coberturas abertas que são fechadas por uniões finitas (isto é, se $\mathcal C' \subset \mathcal C$ é finito, então $\bigcup_{C \in \mathcal C'} C \in \mathcal C$). Mostre que o jogo de Menger e o jogo $\mathsf G_1(\mathcal O^*, \mathcal O)$ são equivalentes (isto é, o jogador $i$ num jogo tem estratégia vencedora se, e somente se, o jogador $i$ tem estratégia vencedora no outro para $i$ igual a I ou II). 

**~~#~~** Mostre que $\omega^\omega$ não é de Menger.<wrap tip>[[dica:IrraMenger|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Faça um diagrama com as implicações entre as seguintes propriedades: Rothberger, Menger, compacto, $\sigma$-compacto e Lindelöf. Indique contra exemplos para as implicações que não valerem.