===== Teorema de Baire =====
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:densos|lista de densos]].
**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Sejam $A$ e $B$ abertos densos em $X$. Mostre que $A \cap B$ é um aberto denso em $X$.
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é um {{entry>espaço/Baire; espaço de Baire}} se, dada uma sequência $(A_n)_{n \in \omega}$ de abertos densos, temos que $\bigcap_{n \in \omega} A_n$ é denso em $X$.
**~~#~~** Mostre que $\mathbb Q$ não é um espaço de Baire.
**~~#~~** Mostre que todo espaço $T_1$ sem pontos isolados e enumerável não é de Baire.[[Solucao:T1Baire|Solução]]
**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ compacto de Hausdorff. Sejam $A$ um aberto e $D$ um aberto denso. Mostre que existe $B$ aberto não vazio tal que $\overline B \subset A \cap D$.
**~~#~~** {{entry>Teorema/Baire para espaços compactos; Teorema de Baire para espaços compactos}} Seja $(X, \tau)$ espaço compacto de Hausdorff. Mostre que $X$ é de Baire.[[dica:BaireCompacto|Dica]] [[Solucao:BaireCompacto|Solução]]
**~~#~~** Seja $X$ espaço localmente compacto e de Hausdorff. Mostre que $X$ é de Baire.
**~~#~~** Seja $(X, d)$ espaço métrico. Sejam $A$ um aberto e $D$ um aberto denso. Mostre que existem $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$ tais que $\overline{B_r(x)} \subset A \cap D$.
**~~#~~** {{entry>Teorema/Baire para métricos completos; Teorema de Baire para espaços métricos completos}} Seja $(X, d)$ espaço métrico completo. Mostre que $X$ é de Baire.[[dica:BaireCompleto|Dica]]