===== Teorema da imersão =====

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Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista de [[lista:produtosinfinitos|produtos infinitos]].
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<WRAP info>
Seja $(X_\alpha, \tau_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de espaços topológicos e seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Seja $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de funções da forma $f_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$. Definimos a {{entry>função diagonal}} desta família a função $\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha: X \rightarrow \prod_{\alpha} X_\alpha$ a função dada por
$$\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha(x) = (f_\alpha(x))_{\alpha \in A}$$ 
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**~~#~~** Mostre que se cada $f_\alpha$ é contínua, então $\Delta_{\alpha \in A}f_\alpha$ é contínua.

<WRAP info>
Dizemos que uma função $f: X \rightarrow Y$ é uma {{entry>imersão}} se $f$ é um homeomorfismo sobre sua imagem. Neste caso, dizemos que $f[X]$ é uma {{entry>cópia}} de $X$.
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<WRAP info>
Seja $\mathcal F = (f_\alpha)_{\alpha \in A}$ uma família de funções da forma $f_\alpha: X \rightarrow X_\alpha$. Dizemos que $\mathcal F$ {{entry>separa pontos}} se, para quaisquer $x, y \in X$ distintos, existe $\alpha \in A$ tal que $f_\alpha(x) \neq f_\alpha(y)$. Dizemos que $\mathcal F$ {{entry>separa pontos de fechados}} para todo $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tais que $x \notin F$, temos que existe $\alpha \in A$ tal que $f_\alpha(x) \notin \overline{f_\alpha[F]}$. 
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**~~#~~** ({{entry>Teorema da imersão}}) Seja $\mathcal F = (f_\alpha)_{\alpha \in A}$ família de funções contínuas da forma $f: X \rightarrow X_\alpha$. 

**~~#.#~~** Mostre que, se $\mathcal F$ separa pontos, então $\Delta_{\alpha \in A} f_\alpha$ é injetora. <wrap help>[[solucao:deltainjetora|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que, se além de separar pontos, $\mathcal F$ separa pontos de fechados, então $\Delta_{\alpha} f_\alpha$ é uma imersão. <wrap help>[[solucao:deltaimersao|Solução]]</wrap> 


**~~#~~** Mostre que, se $X$ é completamente regular, então a família $\mathcal F$ de  todas as funções contínuas da forma $f: X \rightarrow [0, 1]$, é uma família que separa pontos e separa pontos de fechados.

**~~#~~** Mostre que um espaço $X$ é completamente regular se, e somente se, $X$ é homeomorfo a algum subespaço de um espaço da forma $\prod_{\alpha \in A} [0, 1]$.

**~~#~~** Mostre que um espaço $X$ é completamente regular se, e somente se, existe $K$ compacto de Hausdorff tal que $X$ é homeomorfo a um subespaço de $K$.