Tome $X=\{0,1\}$ com a topologia $\tau = \{ \emptyset, \{0\}, \{0,1\}  \}$.
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Como $X$ só tem dois elementos e $\{0\}$ é um aberto que contém apenas $0$, conseguimos separar $0$ de $1$ e portanto $X$ é $T_0$.
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Agora note que todo aberto que contém $1$, também contém $0$. Logo não conseguimos separar $1$ de $0$ e portanto tal espaço não é $T_1$.
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O espaço que utilizamos acima apesar de parecer inofensivo, tem propriedades topológicas suficientes para receber um nome: **Espaço de Sierpinski**. Você pode aprender mais sobre ele em [[http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_space]]