===== Lema da Sub-base de Alexander =====

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que uma coleção de abertos $\mathcal B$ é uma {{entry>sub-base}} para $X$ se $\{\bigcap_{i = 1}^n B_i: B_1, ..., B_n \in \mathcal B\}$ é uma base para $X$.
</WRAP>

**~~#.#~~** Mostre que $\mathcal B = \{[0, a[: a \in ]0, 1[\} \cup \{]b, 1]: b \in ]0, 1[\}$ forma uma sub-base para $[0, 1]$ com a topologia usual. 

**~~#.#~~** Seja $\mathcal B$ uma sub-base para $X$. Mostre que se $X$ é compacto, então toda cobertura por abertos de $\mathcal B$ admite subcobertura finita.

**~~#~~** Seja $\mathcal B$ uma sub-base para $X$. Suponha $X$ não compacto mas que toda cobertura por abertos de $\mathcal B$ admite subcobertura finita. Considere $\mathcal C$ a família de todas as coberturas abertas de $X$ que não possuam subcobertura finita.

**~~#.#~~** Mostre que existe $C \in \mathcal C$ maximal (pela inclusão).

**~~#.#~~** Suponha que $C \cap \mathcal B$ não cobre $X$. Fixe $x \in X$ tal que $x \notin B$ para todo $B \in \mathcal B \cap C$. 

**~~#.#~~** Note que existem $A \in C$ e $B_1, ..., B_n \in \mathcal B$ tais que $x \in B_1 \cap \cdots \cap B_n \subset A$. 

**~~#.#~~** Mostre que $C \cup \{B_i\}$ admite cobertura finita para $X$ para cada $i = 1, ..., n$. Defina $C_i$ de forma que $C_i \cup \{B_i\}$ seja a tal subcobertura finita. <wrap tip>[[dica:pelaMaximalidade|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:exer-sub2-4|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que $\{A\} \cup C_1 \cup \cdots \cup C_n$ é uma subcobertura finita de $C$ (o que é uma contradição). 

**~~#~~** Caracterize compacidade em termos de coberturas por abertos de uma sub-base fixada.

**~~#~~** Mostre que $[0, 1]$ é compacto.

**~~#~~** Sejam $(X_i)_{i \in I}$ espaços topológicos. Seja $\mathcal B = \{\pi_i^{-1}[V_i]: V_i$ é aberto em $X_i\}$

**~~#.#~~** Note que $\mathcal B$ é uma sub-base para $\prod_{i \in I} X_i$. 

**~~#.#~~** Dada $\mathcal C$ cobertura feita por abertos da sub-base $\mathcal B$, mostre que existe $j$ tal que $\{V: \pi^{-1}_j[V] \in \mathcal C\}$ é cobertura para $X_j$.

**~~#.#~~** Mostre que, se cada $X_i$ é compacto, então $\prod_{i \in I} X_i$ é compacto.