===== Famílias quase disjuntas =====

<WRAP info>
Seja $X$ um conjunto enumerável. Seja $\mathcal A$ uma família de subconjuntos infinitos de $X$. Dizemos que $\mathcal A$ é uma {{entry>família/quase disjunta; família quase disjunta}} se, para todo $A, B \in \mathcal A$ distintos, temos que $A \cap B$ é finito. Dizemos que $\mathcal A$ é uma {{entry>família/quase disjunta maximal; família quase disjunta maximal}} (no inglês {{entry>MAD family}}) se não existe uma família quase disjunta $\mathcal B$ tal que $\mathcal A \subsetneq \mathcal B$.  
</WRAP>

**~~#~~** Dê um exemplo de uma família quase disjunta infinita.


**~~#~~** Dê exemplos de famílias quase disjuntas maximais de tamanho $1$, $2$ e $3$. 

**~~#~~** Mostre que toda família quase disjunta está contida numa maximal.<wrap tip>[[dica:estendeMad|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:QDcontidamaximal|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Mostre que não existe uma família quase disjunta maximal enumerável infinita.<wrap help>[[Solucao:quasedisjuntaenumeravel|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Este é um roteiro para construir famílias grandes.

**~~#.#~~** Sejam $r, s \in \mathbb R \smallsetminus \mathbb Q$. Sejam $(q^r_n)_{n \in \omega}$ e $(q^s_n)_{n \in \omega}$ sequências de racionais tais que $q^r_n \rightarrow r$ e $q_n^s \rightarrow s$. Mostre que $\{q_n^r: n \in \omega\} \cap \{q_n^s: n \in \omega\}$ é finito se $r \neq s$. <wrap help>[[Solucao:Grandesfamílias|Solução]]</wrap> 

**~~#.#~~** Mostre que existe uma família quase disjunta maximal de tamanho $\mathfrak c$ (isto é, tal que exista uma bijeção com $\mathbb R$).<wrap tip>[[dica:Famíliatamanhocontínuo|Dica]]</wrap>  <wrap help>[[Solucao:Famíliatamanhocontínuo|Solução]]</wrap> 

<WRAP tip>
 Veja algumas relações dessas famílias com o axioma de Martin nesta [[lista:applMA|lista]].
</WRAP>