===== Produto de espaços ccc =====

<WRAP info>
Dizemos que um espaço topológico é {{entry>ccc}} se, para toda família $\mathcal F$ de abertos de $X$, existem $A, B \in \mathcal F$ tais que $A \cap B \neq \emptyset$.
</WRAP>
**~~#~~** Seja $(X_\xi)_{\xi < \kappa}$ uma família de espaços topológicos tal que, para qualquer $F \subset \kappa$ finito, $\prod_{\xi \in F} X_\xi$ é ccc. Suponha que $(A_\xi)_{\xi < \omega_1}$ seja uma família de abertos básicos não vazios de $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$.

**~~#.#~~** Mostre que $(a_\xi)_{\xi < \omega_1}$ contém um $\Delta$-sistema, onde $a_\xi$ é o suporte de $A_\xi$.

**~~#.#~~** Seja $\Delta$ a raiz do $\Delta$-sistema acima. Mostre que se $\Delta = \emptyset$, então $A_\xi \cap A_\eta \neq \emptyset$ para todo $a_\xi$ e $a_\eta$ no $\Delta$-sistema.

**~~#.#~~** Mostre que, dados $a_\alpha$, $a_\beta$ no $\Delta$-sistema, se $A_\alpha \cap A_\beta = \emptyset$, então $\pi(A_\alpha) \cap \pi(A_\beta) = \emptyset$, onde $\pi$ é a projeção em $\prod_{\xi \in \Delta} X_\xi$. 

**~~#.#~~** Conclua que $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$ é ccc. <wrap help>[[Solucao:produtoccc|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Dê um exemplo de um espaço compacto ccc que não seja separável.

**~~#~~** Suponha MA e $\neg CH$. Seja $X$ um espaço ccc e seja $(U_\xi)_{\xi < \omega_1}$ uma família de abertos não vazios.

**~~#.#~~** Para cada $\alpha < \omega_1$, defina $V_\alpha = \bigcup_{\gamma > \alpha } U_\gamma$. Note que,  se $\alpha < \beta$, então $V_\alpha \supset V_\beta$.

**~~#.#~~** Mostre que existe $\alpha < \omega_1$ tal que, para todo $\beta > \alpha$, $\overline{V_\beta} = \overline{V_\alpha}$.<wrap tip>[[dica:familiaDisjunta|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Seja $\alpha$ dado pelo item anterior. Defina $\mathbb P = \{A \subset V_\alpha: A$ é aberto não vazio$\}$. Note que $\mathbb P$ é ccc (com a ordem da inclusão).

**~~#.#~~** Para cada $\beta < \omega_1$, considere $D_\beta = \{A \in \mathbb P:$ existe $\gamma > \beta A \subset U_\gamma\}$. Mostre que $D_\beta$ é denso em $\mathbb P$. 

**~~#.#~~** Seja $G$ $(D_\beta)_{\beta < \omega_1}$-genérico. Conclua que $(U_\xi)_{\xi < \omega_1}$ contém uma família centrada não enumerável.

**~~#~~** Suponha MA e $\neg CH$. Sejam $X$ e $Y$ espaços ccc. Seja $(U_\xi \times V_\xi)_{\xi < \omega_1}$ uma família de abertos básicos não vazios de $X \times Y$. 

**~~#.#~~** Mostre que existe $I \subset \omega_1$ não enumerável tal que $(U_\xi)_{\xi \in I}$ é centrada.

**~~#.#~~** Mostre que se $\alpha, \beta \in I$ e $(U_\alpha \times V_\alpha) \cap (U_\beta \times V_\beta) = \emptyset$, então $V_\alpha \cap V_\beta = \emptyset$. 

**~~#.#~~** Conclua que $X \times Y$ é ccc.

**~~#~~** Suponha MA. Mostre que produto qualquer de espaços ccc é ccc.