=====Princípio do Máximo=====

<WRAP info>
Dados $a$ e $b$ elementos de uma álgebra de Boole, dizemos que $a$ e $b$ são **incompatíveis**, denota-se $a \perp b$ se $ab=0$.
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<WRAP info>
Seja $u = \left( u_i \, : \, i \in I \right)$ uma sequência de nomes e $a = \left( a_i \, : \, i \in I \right)$ uma sequência de elementos de A. Definimos o nome $M_a^u$ de modo que:
  * $\mathrm{dom}(M_a^u) = \bigcup\limits_{i \in I} \mathrm{dom}(u_i)$
  * $M_a^u(x) = \underset{i \in I}{\mathrm{sup}} \, a_i [\![ x \in u_i ]\!]$
</WRAP>

**~~#~~** Sejam $a$ e $u$ como definidos acima. Fixado $i$, mostre que $\forall x \in \text{dom}(u_i), \, a_i  u_i(x) \leq [\![x \in M_a^u]\!]$

**~~#~~** Suponha $\forall i,j \in I \,\, a_i a_j \leq [\![ u_i = u_j ]\!]$. Mostre que $\forall i \in I \,\, a_i M_a^u(x) \leq [\![ x \in u_i ]\!]$.

**~~#~~** Prove o **Lema da Mistura**: Seja $a = \langle a_i : i \in I \rangle$ sequência de elementos de $A$ e $u = \langle u_i : i \in I \rangle$ sequência de nomes. Suponha que
$$\forall i, j \in I \,\, a_i a_j \leq [\![ u_i = u_j ]\!]$$
Então, para todo $i$ em $I$, temos:
$$a_i \leq [\![ u_i = M_a^u ]\!]$$
Utilize esta <wrap tip> [[dica:lemamistura | Dica]] </wrap>

**~~#~~** Dada $\varphi$ fórmula, defina $\langle u_{\xi} : \xi < \kappa \rangle$ de modo que $ \{ [\![ \varphi ( \alpha )  ]\!] : \alpha \, \text{nome} \} = \{ [\![ \varphi ( u_{\xi} )  ]\!] : \xi < \kappa \}$. Defina $a_{\xi} = [\![ \varphi ( u_{\xi}) ]\!] - \underset{\zeta < \xi}{\mathrm{sup}} [\![ \varphi (u_{\zeta}) ]\!]$ \\
Mostre que $a_{\xi} \leq [\![ u_{\xi} = M_a^u ]\!]$.

**~~#~~** Prove o **Princípio do Máximo**: Dada $\varphi$ fórmula, existe $\sigma$ nome de modo que $[\![ \exists x \, \varphi (x) ]\!] = [\![ \varphi ( \sigma ) ]\!]$.

**~~#~~** Se $\varphi$ é o Axioma da Escolha, $[\![ \varphi ]\!] = 1$. \\
Lembrete: o Axioma da Escolha é escrito como:
$$\forall \mathcal{F} \, ( \forall F \in \mathcal{F} \, \exists x \in F ) \rightarrow \, (\exists f: \mathcal{F} \rightarrow \bigcup \mathcal{F} \, \wedge \forall F \in \mathcal{F} \, f(F) \in F)$$