Ida:\\
Dado $x \in X$, vamos mostrar que $X \backslash \{x\}$ é aberto:\\
Tomando $y \in X$ e sabendo que $X$ é $T_1$ temos então que existe $A_y$ aberto em $X$ tal que $y \in A_y$ e $x \notin A_y$.\\
Mas note que:\\
  * $\bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y = X \backslash \{x\}$.\\
Prova: Seja $z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$, então $z \in A_z$ pra algum $A_z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$, logo, $z \in X \backslash \{x\}$.
Agora tome $z \in X \backslash \{x\}$.
Como $X$ é $T_1$, então existe $A_z$ aberto em $X$ tal que $z \in A_z$ e $x \notin A_z$, logo, $z \in \bigcup_{y \in X \backslash \{x\}} A_y$.\\
  * $\bigcup_{y \in X} A_y = X \backslash \{x\}$ é aberto, pois união de abertos é aberto, logo, $\{x\}$ é fechado.\\ \\
Volta:\\
Dado $x \in X$ temos que $\{x\}$ é fechado, logo, $X \backslash \{x\}$ é aberto e para todo $y \in X$ temos que $y \in X \backslash \{x\}$ e $x \notin X \backslash \{x\}$, logo, $X$ é $T_1$.