===== Ordinais =====

<WRAP tip>
É melhor você ter feito a lista de [[lista:boaordem|Boa Ordem]] antes.
</WRAP>

**~~#~~** Considere $(X, \leq)$ bem ordenado. Suponha que $Y \subset X$ é tal que, para todo $x \in X$, se $\{a \in X: a < x\} \subset Y$, então $x \in Y$. Mostre que $Y = X$. Esse é uma formulação do {{entry>Teorema da indução}}. <wrap help>[[Solucao:therem-induc|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Dizemos que um conjunto $X$ é {{entry>transitivo}} se , para todo $y \in X$, temos que $y \subset X$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $X$ é transitivo se, e somente se, para todos os conjuntos $a, b$ tais que $a \in b$ e $b \in X$, temos que $a \in X$.  <wrap help>[[Solucao:trasitive-set|Solução]]</wrap>


**~~#~~** Mostre que se $X$ é transitivo e $\alpha \in X$, então $\alpha \cup \{\alpha\} \subset X$.<wrap help>[[Solucao:ex3|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Dizemos que um conjunto $X$ é um ordinal se $X$ é transitivo e bem ordenado por $\in$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\emptyset$, $\{\emptyset\}$ e $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ são ordinais.

**~~#~~** Mostre que se $X$ é um ordinal, então $X \cup \{X\}$ também é um ordinal.<wrap help>[[Solucao:ordinaisexerc5|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se $X$ é um ordinal e $\alpha \in X$, então $\alpha$ é um ordinal.<wrap help>[[Solucao:ordinaisexerc6|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Sejam $\alpha, \beta$ ordinais tais $\beta \in \alpha$. Suponha que exista $\gamma \in \alpha$ tal que $\gamma$ é o menor elemento (no sentido de $\in$) de $\alpha$ tal que $\beta \in \gamma$. Mostre que $\gamma = \beta \cup \{\beta\}$. <wrap tip>[[dica:ordemOrdinais|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao: ordinaisexerc7|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $\alpha$ um ordinal. Então existe $\beta \in \alpha$ tal que $\alpha = \beta \cup \{\beta\}$ ou, para todo $\beta \in \alpha$, temos que $\beta \cup \{\beta\} \in \alpha$. 

**~~#~~** Sejam $\alpha, \beta, \gamma$ ordinais tais $\beta \subset \alpha$ e $\gamma \in \alpha \smallsetminus \beta$. Mostre que $\beta \subset \gamma$. <wrap tip>[[dica:ordinaisDiferenca|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:ordinaisexerc9|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Sejam $\alpha, \beta$ ordinais tais que $\beta \subset \alpha$. Mostre que $\beta = \alpha$ ou $\beta \in \alpha$.

**~~#~~** Seja $\varphi$ uma propriedade tal que, dado $\alpha$ ordinal, se $\varphi(\beta)$ vale para todo $\beta \in \alpha$, então vale $\varphi(\alpha)$. Mostre que vale $\varphi(\alpha)$ para todo ordinal $\alpha$.   Esse resultado é conhecido como {{entry>Indução para ordinais}}. <wrap help>[[Solucao: InducOrdinais|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Sejam $\alpha, \beta$ ordinais. Mostre que $\alpha \subset \beta$ ou $\beta \subset \alpha$.<wrap tip>[[Dica:inclusaoTotal|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Seja $\varphi$ uma propriedade tal que exista pelo menos um ordinal $\beta$ tal que vale $\varphi(\beta)$. Mostre que existe um ordinal $\alpha$ tal que:<wrap tip>[[Dica:TemMenor|Dica]]</wrap>
  * Vale $\varphi(\alpha)$
  * Para todo $\gamma$ ordinal tal que vale $\varphi(\gamma)$, temos que $\alpha \subset \gamma$.

<WRAP tip>
Os últimos resultados mostram que vale indução sobre a coleção de todos os ordinais e que eles se comportam como se fosse bem ordenados pelo $\subset$ (só não é de fato bem ordenado já que a coleção de todos os ordinais não forma um conjunto). Desta forma, muitas vezes usamos $\alpha < \beta$ em vez de $\alpha \in \beta$ para ordinais. Em especial, o último resultado nos dá que se uma propriedade vale para algum ordinal, existe o menor deles que a satisfaz.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que a coleção de todos os ordinais não é um conjunto.