===== Axioma de Martin (versão topológica) =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer ver os resultados das listas do [[lista:MA|axioma de Martin]] e do [[lista:TeoremaDeBaire| Teorema de Baire]].
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<WRAP info>
Dizemos que um espaço topológico $(X, \tau)$ é c.c.c. se não existe uma família não enumerável de abertos de $X$ dois a dois disjuntos.
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**~~#~~** Mostre que todo espaço separável é c.c.c.

**~~#~~** Mostre que, se $X$ é c.c.c. e $V$ é aberto em $X$, então $\overline V$ é c.c.c.

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico compacto, Hausdorff e c.c.c. Considere a ordem parcial $(P, \leq)$ onde $P = \{A \in \tau: A \neq \emptyset\}$ e $A \leq B$ se $\overline A \subset B$.

**~~#.#~~** Seja $A$ aberto denso em $X$. Mostre que $D = \{B \in P: \overline B \subset A\}$ é denso em $P$.

**~~#.#~~** Suponha o axioma de Martin. Mostre que, dada uma família de abertos densos $(A_\xi)_{\xi < \kappa}$ onde $\kappa < \mathfrak c$, temos que $\bigcap_{\xi < \kappa} A_\xi \neq \emptyset$.

**~~#.#~~** Suponha o axioma de Martin. Mostre que intersecção de menos que contínuo abertos densos de $X$ é densa.

<WRAP tip>
Na sequência, vamos mostrar que a formulação acima de fato é equivalente ao Axioma de Martin. Para isso, talvez seja melhor olhar a [[lista:dualidadestone| Lista da dualidade de Stone]].
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**~~#~~** Seja $(P, \leq)$ uma ordem. Para cada $p \in P$, seja $A_p = \{q \in P: q \leq p\}$

**~~#.#~~** Mostre que $\{A_p: p \in P\}$ é uma base para uma topologia sobre $P$.

<WRAP info>
Dizemos que um aberto $A$ é um {{entry>aberto regular}} se o interior de $\overline A$ é o próprio $A$.
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**~~#.#~~** Mostre que o conjunto dos abertos regulares num espaço topológico é uma álgebra de Boole. Considere como complementar o interior do complementar e como soma o interior do fecho da união.

**~~#.#~~** Mostre que $\varphi(p) = $int$(\overline{\{q \in P: q \leq p\}})$ tem imagem densa na álgebra de Boole dos abertos regulares.

**~~#.#~~** Suponha que todo $(X, \tau)$ espaço topológico compacto, Hausdorff e c.c.c. é tal que intersecção de menos que contínuo abertos densos é densa. Mostre que vale o axioma de Martin.