===== Localmente compactos =====

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>localmente compacto}} se, para todo $x \in X$, existe $\mathcal V_x$ sistema fundamental de vizinhanças compactas para $x$.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que são equivalentes: <wrap help>[[Solucao:Equiv.Loc.Compacto|Solução]]</wrap>
  - $X$ é localmente compacto;
  - para todo $x \in X$, existe $V$ vizinhança compacta de $x$;
  - para todo $x \in X$, existe $A$ aberto tal que $x \in A$ e $\overline A$ é compacto.

**~~#~~** Dê um exemplo de um espaço localmente compacto que não seja compacto. 

**~~#~~** Mostre que se $(X, \tau)$ é compacto e de Hausdorff, então $X$ é localmente compacto.

**~~#~~** Mostre que se $(X, \tau)$ é localmente compacto e de Hausdorff, então $X$ é regular.

**~~#~~** Mostre que todo localmente compacto de Lindelöf é {{entry> $\sigma$-compacto}} (isto é, é uma união enumerável de compactos).